Критерият на Кели: Частичен подход

Критерият на Кели: Частичен подход

Критерият на Кели често се превръща в гореща тема на дебати сред залагащите.  В интернет са публикувани множество статии по темата - от прости обяснения до сложни анализи. Как частичният подход към Критерия на Кели работи и дали той е най-добрият вариант за сериозните играчи? Прочетете статията ни, за да разберете.

Нека разгледаме набързо критерия на Кели като средство за управление на парите. Кели се застъпва за залагането в пропорционалност към възможността за печалба и възприеманото предимство, които играчът държи над букмейкърските коефициенти.

Учудващо, Кели е успял да приеме рисковете от това да не знае точно предимството на играча, стига да то да е точно в повечето случаи. Въпреки това, все още е ясно, че Джо Пета е имал нещо предвид, когато е написал следното в своя анализ на критерия на Кели: "Без значение каква очаквана възвращаемост изчислявате, отклоненията ви ще бъдат абсурдни и невероятно високи".

В тази статия ще видим какво може да се направи, за да се намалят тези рискови отклонения и какво въздействие ще имат върху очакваната възвращаемост.

 

Проблемът с пълен Кели

Често се обсъжда, че голям проблем с Кели е това, че растежът на банката ще бъде непостоянен, с печалби, прекъснати понякога от значителни загуби. С други думи, развитието на банката е нестабилно.

Ако си припомним как се изчислява размера на залога на Кели, ще се появят внезапни и големи недостатъци за малък залог, за които вярваме, че държат значителни положителни очаквания - загуби.

Футболен мач от френската Лига 1 ще ни послужи за пример на горното твърдение. Голям букмейкър оцени коефициента за победа на ПСЖ над Кан на 1.35, докато Пинакъл даде коефициент от 1.20. След изчисляване на маржа се подразбира, че очакваното предимство от 11.5% (ако предположим, че Пинакъл са най-добри) и залог на Кели от 32.8%.

Мачът на ПСЖ срещу Кан завърши с равенство и почти една трета от банката на Кели можеше да бъде заличена само с един залог. Разбираемо, това не е видът усвояване, което повечето играчи могат да толерират, дори и да имат други възможности за растеж на банката от подобна величина.

 

Загубите болят повече, отколкото победите радват

За повечето хора, дори тези, които търсят риска, загуби от подобна величина болят много повече, отколкото подобни победи. В книгата си Мисленето, авторът Даниел Канеман обяснява как с прост мисловен експеримент.

А) Получавате 1000 долара в допълнение към съществуващото ви богатство. Сега трябва да изберете една от двете опции:

1) 50% шанс да спечелите 1000 долара

2) Да спечелите 500 долара със сигурност

 

Б) Получавате 2000 долара в допълнение към съществуващото ви богатство. Сега трябва да изберете една от двете опции:

1) 50% шанс да изгубите 1000 долара

2) Да изгубите 500 долара със сигурност

 

По отношение на абсолютно богатство, резултатите от проблеми А и Б са еднакви. Ако изберете сигурния вариант в А или Б, ще имате 1500 долара повече в добавка към съществуващото ви богатство. Ако изберете да играете, ще завършите или с 2000 долара или с 1000 долара, в зависимост от развоя на събитията. Какво избрахте?

Когато Канеман и неговият колега Еймос Тверски експериментирали с това, те открили, че повечето респонденти предпочитат да избегнат риска и избирали сигурния вариант при опция А и рискували с избиране на хазартния вариант в опция Б.

Еквивалентни твърдения по същия проблем с вземане на решения трябва да доведат до идентични избори. Тъй като в този пример не е така, респондентите очевидно не са се държали рационално. Обяснението е, че проблеми А и Б имат различни стартови или отправни точки.

При А е съществуващо богатство и 1000 долара, докато при Б е съществуващо богатство и 2000 долара. Канеман предполага, че тъй като малцина обръщат внимание на тези отправни точки, отношението към печалбите и загубите не зависи от оценката на абсолютното състояние на богатство, а от относителните състояния. От гледна точка на полезността при печалби и загуби, хората повече не обичат да губят, отколкото обичат да печелят.

Ще приемете ли справедлив облог за пари, който може да увеличи банката ви с една трета ако спечелите, но може да я намали със същата стойност при загуба? Ако не сте склонни да приемете, както повечето хора, тогава демонстрирате нежелание за загуба. Колко по-голяма трябва да бъде вероятността за печалба преди да промените решението си? 60%? 70%? 95%? Още по-висока?

 

Обяснение за нежеланието за загуба

От еволюционна перспектива не е изненадващо, че загубите ни мотивират повече от печалбите. Както Канеман обяснява, живи същества, които оценяват заплахите по-добре от възможностите, имат по-голям шанс за оцеляване и възпроизвеждане.

Тъй като ние хората сме победителите в еволюционната линия, това непременно предполага, че нежеланието за загуба е преференциално избрано средство за адаптация при естествения подбор.

Чрез еволюцията нашите невронни вериги са станали още по-способни да открият относителни промени в стимулите, отколкото в абсолютните стойности. Сами можете да потвърдите това като използвате три чаши с вода - една топла, една студена и една  със средна температура.

За минута оставете лявата си ръка в топлата чаша, а дясната в студената, а след това потопете и двете в чашата със средна температура на водата. Въпреки факта, че двете ръце усещат една и съща абсолютна температура, лявата ви ръка ще се усеща по-студена, а дясната по-топла, заради различните отправни точки.

 

Усъвършенстване на критерия на Кели с части

Ако нашата предразположеност към нежеланието за загуба задължително прави променливите рискове свързани със залагането на пълен Кели много високи, очевидното решение е да се намали размера на залога на Кели. Но как точно ще повлияе очакваната възвращаемост на тази стратегия за управление на парите?

Многобройни източници предполагат, че чрез намаляване наполовина на залога на Кели играчите могат значително да намалят променливостта в развитието на банката, като същевременно запазят по-голямата част от очакваната възвращаемост. Нека направим няколко симулации, за да видим дали това е така.

Следвайки същия пример за 250 равностойни залози, при които играчът има 4% предимство (с очакван шанс за победа 52%), първата диаграма показва пример на една симулация.

Четири плана за залагане са сравнени: пълен Кели, половин Кели, четвърт Кели и осмина Кели. Ако залогът при пълен Кели е 8%, то при половин е 4%, при четвърт - 2% и при осмина - 1%. Нестабилността или отклоненията в развитието на банката са най-големи при пълен Кели и най-малки при осмина Кели.

Следващата диаграма също показва, че когато представянето ни е по-късметлийско от очакваното, пълен Кели ще се представи много по-добре от своите частични варианти.

Но също така, ако нямаме късмет, пълен Кели ще ни донесе много по-големи загуби. Третата диаграма показва серия от десет поредни загуби, които намаляват банката ни с 30%. При залагане на осмина Кели, загубата е само 3,75%. Както вече бе обяснено, този тип загуби са особено неприятни за повечето играчи, въпреки че при пълен Кели и печалбите са по-големи.

Но това са само три възможни теории за играч, който държи 4% преимущество. Трябва да се направи друга симулация, която да определи какво обикновено може да се очаква.

При симулация с 10 000 залагания в Монте Карло, която сравнява четирите варианта на залози на Кели и шансовете да завършите с по-малко пари, отколкото сте започнали. Открихме, че 14% от случаите завършват с по-малко от 60% от сумата в банката, с която е започнато, което потвърждава критиките на Джо Пета относно стратегията.

При тази нова симулация, резултатът беше повторен в границите на шанса. Пълен набор от вероятности е показан в таблицата отдолу.

Банка

Пълен Кели (4%)

Половин Кели

Четвърт Кели

Осмина Кели

<100%

38%

34%

29%

29%

<80%

25%

12%

2%

0%

<60%

15%

2%

0%

0%

<40%

5%

0%

0%

0%

<20%

0%

0%

0%

0%

 

Докато намаляването на размера на залога на Кели не влияе значително върху вероятността за неуспех за печалба  след 250 залога, то със сигурност защитава срещу значително големи загуби над 20% от сумата в банката.

Намаляването наполовина залога на Кели намалява и наполовина възможността за 20% загуба. Намаляването залога още веднъж наполовина намалява загубата почти до нула.  За загуби от 40% намаляването на риска е още по-значително. Но на каква цена към очакваната възвращаемост?

Следващата таблица показва средните и междинните стойности на банката след 250 залагания за всяка от четирите стратегии.

Банка

Пълен Кели (4%)

Половин Кели

Четвърт Кели

Осмина Кели

Средна

147

121

110

105

Междинна

122

116

109

105

 

Докато средната очаквана печалба за половин Кели е много по-малка от тази за пълен Кели, междинното очакване е намалено само с една  четвърт. Тъй като плановете за пропорционално залагане внезапно променят очакваната средна възвращаемост за сметка на няколко много големи завършващи банки, междинната възвращаемост може би е по-добро мерило за това какво да очаква играч да се случи. Междинка от 116 например предполага, че около 50% от завършващите банки ще бъдат по-малки или равни на 116 и около 50% над 116. В такъв случай изглежда, че намаляването на риска чрез половин Кели залог (или по-малък) е цена, която си струва да се плати.

Последната таблица показва резултатите от втора симулация на Монте Карло, където играчът притежава 8% предимство (54% шанс за печалба). Заключенията до голяма степен са сходни: Рискът от загуба може да се намали значително като се откажем от малка част от очакваната (междинна) възвращаемост.

Банка

Пълен Кели (4%)

Половин Кели

Четвърт Кели

Осмина Кели

<100%

28%

16%

13%

11%

<80%

20%

9%

3%

0%

<60%

13%

4%

0%

0%

<40%

9%

1%

0%

0%

<20%

2%

0%

0%

0%

Средна

500

224

150

122

Междинна

223

182

142

121

 

Частичният вариант на критерия на Кели ли е най-добрият метод за залагане?

Частичен Кели изглежда, че предлага на играчите решение за рисковете от нестабилност, свързани с пълен Кели, без нуждата да се отказват от предимствата, които предлага стратегията на Кели при фиксиран залог.  За играчите, предразположение към големи загуби, това може да бъде много добра новина.

Разбира се, както винаги, много по-тежката битка е играчът да бъде сигурен, че държи предимството над коефициентите и да вярва и знае какво прави в същото време. Не позволявайте на прекалената самоувереност да ви заблуди в това отношение.

Стратегии за залози | Автоматични прогнози |